Optimization for the natural frequencies of functionally graded beams using metaheuristic algorithms

Abstract

The thesis describes optimizing the lowest natural frequencies of functionally graded beams, which have varying material characteristics based on a power-law across thickness, using classical boundary conditions. The Euler-Bernoulli beam concept is expanded to include power-law distributions in each layer, resulting in spatially variable stiffness and mass density. Frequencies of free vibration expressed in closed form. To navigate the very non-convex design space defined by volume fraction gradation parameters and layer thickness ratios, MATLAB employs two metaheuristic techniques. The first is the Tug of War Optimization (TWO) algorithm, and the second is the Constrained Particle Algorithm (CPA), which uses swarminspired updates coupled with adaptive penalty functions to enforce mass targets and manufacturability constraints in the non-convex design space defined by layer thickness ratios and volume fraction gradation parameters. Extensive numerical studies in clamped-free, clamped-clamped, and simply supported cases show that CPA converges faster to high-quality solutions, achieving up to a 20% increase in the first natural frequency in preliminary runs, whereas TWO achieves even greater frequency enhancements (up to 25%) at the expense of longer runtimes. Sensitivity studies reveal that higher material gradients disproportionately increase stiffness, providing an effective tuning lever. Overall, CPA is suggested for quick design iterations and massor time-sensitive applications, whereas TWO is preferred when peak vibrational performance trumps computing cost. Future work will expand these algorithms to three-dimensional plates and shells, incorporate gradient-based local adjustments, and test optimal gradation profiles empirically using 3D-printed specimens.Bu tez, kalınlık boyunca bir güç kuralı (power-law) dağılımına sahip, malzeme özellikleri değişken olan fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerin (Functionally Graded Beams) en düşük doğal frekanslarının optimizasyonunu klasik sınır koşulları altında ele almaktadır. Euler-Bernoulli kiriş teorisi, her katmanda güç kuralı dağılımlarının eklenmesiyle genişletilmiş ve böylece mekânsal olarak değişen rijitlik ve kütle yoğunluğu ortaya çıkmıştır. Serbest titreşim frekansları kapalı formda ifade edilmiştir. Katman kalınlık oranları ve hacim oranı derecelendirme parametreleriyle tanımlanan son derece konkav olmayan tasarım uzayında yön bulmak amacıyla MATLAB, iki metasezgisel tekniği kullanmaktadır. Birincisi, Tug of War Optimization (TWO) algoritması; ikincisi ise, katman kalınlık oranları ve hacim oranı derecelendirme parametreleriyle tanımlanan konkav olmayan tasarım uzayında kütle hedeflerini ve üretilebilirlik kısıtlarını sağlamak için uyarlamalı ceza fonksiyonlarıyla desteklenen sürü esinli güncellemeler kullanan Constrained Particle Algorithm (CPA) algoritmasıdır. Ankastre-serbest, ankastre-ankastre ve basit mesnetli durumlarda yapılan kapsamlı sayısal incelemeler, CPA’nın yüksek kaliteli çözümlere daha hızlı yakınsadığını ve ön çalışmalar sırasında birinci doğal frekansta %20’ye kadar artış sağladığını göstermektedir. Öte yandan, TWO algoritması, daha uzun çalışma süreleri pahasına bile olsa %25’e kadar frekans iyileştirmeleri sağlamaktadır. Duyarlılık çalışmaları, daha yüksek malzeme gradyanlarının rijitliği orantısız şekilde artırdığını ve böylece etkin bir ayar kolu sağladığını ortaya koymuştur. Genel olarak, CPA hızlı tasarım yinelemeleri ve kütle veya zaman hassasiyeti olan uygulamalar için önerilirken, TWO algoritması ise titreşim performansının hesaplama maliyetinin önüne geçtiği durumlar için tercih edilmektedir. Gelecekteki çalışmalar, bu algoritmaların üç boyutlu plak ve kabuk yapılarına genişletilmesini, gradyan tabanlı yerel ayarlamaların entegrasyonunu ve optimum derecelendirme profillerinin 3B baskı örnekleriyle deneysel olarak test edilmesini hedeflemektedir.